Intro
안녕하세요, 제하공제입니다.
이론내용만 지속해서 학습하면 기억에도 잘 남지 않고 지루한 것 같습니다.
Ep07. 까지 다룬 열역학 기초 이론을 바탕으로 이상기체상태에서의 공정 변화를 간단하게 설계하고 계산해 보도록 하겠습니다. 시험이라고 하는 시스템에서 답을 구해본지가 오래되었네요. 이 글을 읽고 계시는 독자분들께서는 어떠실지 모르겠습니다. 하지만, 오랜만에 논리적으로 정의된 수식을 통해 고민하고 해답을 찾는 과정에서 정해진 답에 도달하는 재미를 느껴보셨으면 좋겠습니다. 사회에서는 정해진 답이 없어 많이 답답하실 것 같습니다.
이상기체 공정계산 예제 1
아래 예제를 읽고 가능하다면, Ep07. 의 공정계산 수식을 참고하여 문제 풀이를 부탁드립니다. 10분 정도 고민하시고 풀이가 되지 않는다면, 망설임 없이 아래 해설로 넘어가 이해를 해주시고, 다음 예제에서는 다시 한번 직접 문제를 풀어보고 고민을 해보시면 좋겠습니다.
1 bar, 298.15 K (25℃)의 공기가 다음과 같은 두 가지의 서로 다른 역학적으로 가역적인 공정들에 의하여 5 bar, 298.15K로 압축된다.
- 일정압력에서 냉각한 후에 일정부피에서 가열
- 일정부피에서 가열한 후에 일정압력에서 냉각
각 경로에 대하여 소요되는 열(Q)과 일(W), 그리고 공기의 내부에너지(△U)와 엔탈피(△H)를 계산하여라.
공기는 온도에 무관한 다음의 열용량을 갖는다고 가정한다. ( Cv = 20.78, Cp = 29.10 J/mol*K )
공기는 어떠한 변화를 겪든지 항상 PV/T가 일정하다고 가정한다. ( 298.15K와 1 bar에서 몰부피는 0.02479 m3/mol)
문제풀이
(1) 먼저 최종 부피(V2)를 구할 수 있습니다.
문제에서 주어진 공기는 항상 일정한 이상기체 상태 방정식을 갖는다는 것은 PV/T=k 을 의미하며, 최종 상태에서의 열역학 물성인 부피 변화는 아래와 같은 상태방정식으로 설명할 수 있습니다.
P1V1/T1=P2V2/T2=k
위 수식에서 공정 전 후 온도는 T1=T2 이므로, 최종 부피는 V2=V1∗P1/P2 로 계산될 수 있습니다.
① 일정압력, 냉각 공정
먼저, 냉각 후 중간 온도 인 T`을 위와 마찬가지인 상태방정식으로 구할 수 있습니다.
( P1V1)/T1=(P1`V2)/(T`)=k 에서 압력이 같기 때문에 (P1=P1`) 중간 온도 T`=𝑇1∗𝑉2/𝑉1로 계산될 수 있습니다.
여기서 V`=V2인 이유는 두 번째 공정이 일정부피 가열이기 때문에 최종 상태의 부피로 압축되어야 하기 때문입니다.
엔탈피와 내부에너지를 계산하기 위해 Ep07. 의 수식을 참고하면, 일정압력(dP=0) 조건에서 아래와 같습니다.
△H = Q = ∫〖𝐶𝑝 𝑑𝑇 〗
△U=△H-△(PV) = △H-P△(V)
② 일정부피, 가열 공정
일정부피 공정을 위해 피스톤에 걸쇠를 고정한 후 내부를 가열해 준다고 생각하면 됩니다.
역시 Ep07. 수식을 참고하면, 일정부피(dV=0) 조건에서 아래와 같습니다.
△U = Q = ∫〖𝐶𝑣 𝑑𝑇 〗
W=-PdV=0
따라서, (1) 번 전체 공정의 에너지 입출력은 각 단계의 합으로 계산할 수 있습니다.
(2) 번 공정의 계산은 아래와 같이 수행할 수 있습니다.
먼저 최종 부피(V2)를 (1) 번 공정과 동일하게 계산할 수 있습니다.
P1V1/T1=P2V2/T2=k
위 수식에서 공정 전 후 온도는 T1=T2 이므로, 최종 부피는 V2=V1∗P1/P2 로 계산될 수 있습니다.
① 일정 부피, 가열 공정
먼저, 가열 후 중간 온도 인 T`을 위와 마찬가지인 상태방정식으로 구할 수 있습니다. 중간 온도 T`=𝑇1∗(𝑃2`)/𝑃1로 계산할 수 있습니다.
여기서 P`=P2인 이유는 두 번째 공정이 일정압력 냉각공정이므로 최종 상태의 압력으로 가열되어야 하기 때문입니다.
일정부피(dV=0) 조건
△U = Q = ∫〖𝐶𝑣 𝑑𝑇 〗
W=-PdV=0
② 일정압력, 냉각 공정
일정압력(dP=0) 조건
△H = Q = ∫〖𝐶𝑝 𝑑𝑇 〗
△U=△H-△(PV) = △H-P△(V)
따라서, b) 전체 공정의 에너지 입출력은 각 단계의 합으로 나타낼 수 있습니다.
문제해설
최종상태로 공정을 설계하기 위해 두 가지 경로를 구분하여 계산해 보았습니다. 결과를 해석해 보면 어떤 열역학적 의미를 얻을 수 있을까요?
상온, 대기압의 공기를 최종 상태에서 동일한 온도의 5 bar로 압축하는 공정변화에 대한 문제입니다.
문제 (1)과 (2)의 차이는 최종 상태 변화를 위한 공정 순서가 서로 바뀌어 진행되는 것이죠. 문제(1)는 일정압력하에 공기를 먼저 냉각한 후, 일정 부피에서 최종 상태로 가열하는 것이고, 문제(2)는 이와 반대로, 일정부피에서 먼저 가열한 뒤, 최종 상태로 일정압력 냉각하는 공정 변화를 거치게 됩니다.
- 두 문제는 모두 최종 온도가 변하지 않기 때문에, 위에서 언급한 온도의 함수인 내부에너지와 엔탈피는 최종 상태에서 △U=△H=0 임을 검증할 수 있습니다.
- 동일한 상태를 만들었음에도 불구하고, 공정에 투입된 열과 일은 (1)의 경우 Q=-1983J의 열이 시스템을 빠져나와야 하며, 이를 위해 1983J만큼의 일이 투입돼야 합니다.
- 반면 공정 (2)의 경우 Q=-9915J의 열이 시스템을 빠져나와야 하며, 이를 위해 9915J 만큼의 일이 소비되어야 함을 의미합니다.
- 다시 말해, 최종 상태의 물질을 만들기 위한 공정 단계는 그 과정에 따라 열(Q)과 일(W)로 소모되거나 생산되는 에너지 전환에 차이가 발생하며, 설계자는 이렇게 소모되는 에너지를 줄이면서 효율이 좋은 최적의 공정 개선을 고민해야 합니다.
최종 상태의 물질을 만들기 위한 공정은 단 한 가지 설계가 아니다.
Ep07에서 중요한 설계적 고려사항에 대해서 정리해 드렸습니다. 이번 예제를 풀었으니 다시 한번 읽어보시면서 그 내용에 대해서 이해해 보시기 바랍니다.
1. 내부에너지와 엔탈피 변화량(△U,△H)은 최종 열역학 물질 상태(P, T, V)에 따라 고정 값을 갖는 상태함수이다. 다시 말해, 공정 전개 순서와 상관없이 최종 상태의 변화량은 항상 같다.
2. 하지만, 열(Q)과 일(W)은 공정 순서에 따라 입력, 출력되는 값이 다른 경로함수이다.
3. 따라서, 설계자는 최대 생산 일(W)을 만들 수 있는 공정 경로를 설계하기 위해 여러 공정 순서로 물질의 상태를 변화시키며, 최소한의 투입 에너지(Q, W)로 공정을 구성할 수 있다.
4. 또한, 내부에너지와 엔탈피 변화량(△U,△H)은 온도에 관한 함수(U(T), H(T))로, 초기 상태와 최종 상태의 온도가 같다면 내부에너지와 엔탈피 변화량(△U,△H)은 항상 0이다.
다음챕터에서 추가 문제를 풀어보면서 이해도를 향상해 보도록 하겠습니다.
감사합니다.
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