Intro
안녕하세요 제하공제입니다.
HYSYS를 사용하는데 대체 왜 이런 기초 이론부터 공부를 해야 하는지 답답해하는 분들이 계실지 모르겠습니다. HYSYS라는 소프트웨어를 사용해서 공정을 설계하는 일은 어찌 보면 방법론에 지나지 않습니다. 다시 말해, 하나의 공정을 완성하더라도, 그 이후 실제 공정에서 발생하는 다양한 문제들을 시뮬레이션에 적용하여 그 변화를 분석하고 유의미한 해결방안을 찾기 위해서는 소프트웨어의 계산기준이 되는 열역학 이론을 먼저 이해해야 합니다.
다소 시간이 걸리더라도 차근차근 따라와 주시기를 바랍니다.
또한, 이번 <기본이론편> 연재는, HYSYS를 사용하고자 User 뿐 아니라, 정유, 화학, 반도체, 건설, 조선 등 다양한 기업에 취업을 준비하기 위해 준비하는 학생들에게도 기초 열역학 정보를 한 번에 정리하는데 도움이 될 것 같습니다.
이번 연재를 접하시는 독자분들에게 더 도움을 드리고자 항상 노력하겠습니다.
연속방정식의 유도와 질량 보존의 물리적 의미
먼저 정의를 하고 시작해 보겠습니다. 연속 방정식은 어떤 물리량이 보존되는 상태로 이송되는 것을 기술하는 방정식이며, 아래와 같이 오일러 보존 방정식으로 대표하여 나타낼 수 있습니다. 알 수 없는 기호(?)들이 눈앞에 나타났네요.
공학의 대표적인 오일러 보존 방정식을 공정설계의 관점에서 추가 설명 해보도록 하겠습니다. 오일러 보존 방정식의 관점에서 열역학 질량보존의 물리적 의미는 ‘질량은 새로 만들어지거나 파괴되지 않는다’입니다. 즉, 시스템 내부의 질량은 시간에 따른 변화가 없음을 의미합니다. 오일러 보존 방정식을 물리적으로 이해하기 위해 아래 질량 보존 용어를 먼저 이해해 보면 좋을 것 같습니다.
실무를 하시면서 혹은 강의를 수강하시면서 들었던 질량(Mass), 체적유량(Volume flow rate), 질량유량(mass flow rate), 질량플럭스(Mass Flux)는 다음과 같이 수식으로 나타낼 수 있습니다.
위에서 설명된 질량보존 용어에 근거하면 연속방정식의 한 모델인 질량보존방정식을 수학적으로 유도할 수 있습니다. 그럼 다음 슬라이드를 함께 보면서 질량보존방적식을 유도해 보도록 하겠습니다.
- 1. 공정해석을 위한 검사체적(Control Volume)을 가정합니다. 여기서, 검사체적이란, 특정한 연구나 해석을 하고자 하는 공간 속의 체적을 의미합니다. 푸른색 점선은 검사체적으로 들어오거나 빠져나간 질량유량을 의미하고, 붉은색 점선은 검사체적 내부의 질량 감소의 시간 변화율을 의미합니다.
- 2. 먼저, 푸른색 점선의 입/출력 질량을 테일러급수 전개를 통해 1차 근사하여 표현하면, 위와 같이 수식을 정리할 수 있습니다. 테일러급수란 제일 아래 첨부 1. 슬라이드를 참조부탁드립니다. 간략한 설명은, 검사 체적 중심의 유체속도(u)와 밀도(ρ)에 대하여 각 벡터 방향 입/출력 위치에서의 유체 속도(u+ ∂u/∂x dx/2)와 밀도(ρ+ ∂ρ/∂x dx/2) 값을 선형 근사하여 표현할 수 있음을 말합니다.
- 3. 또한, 아래와 같이 붉은색 점선으로 표현된 검사 체적 내부의 질량 감소 시간변화율을 밀도(ρ)*부피(dxdy)로 나타낼 수 있다면, 질량 보존법칙에 따라 푸른색과 붉은색이 같다는 조건으로 전개할 수 있으며, 결과적으로 아래의 연속 방정식(Continuity Equation)을 얻을 수가 있습니다.
- 4. 위 연속 방정식 전개를 위한 검사체적은 실제로 3차원 공간이므로, x, y 방향의 속도성분 u, v에 z 방향의 속도성분 w를 더해주면 아래와 같이 최종 벡터형식의 방정식이 성립되고, 여기서, ∇(델)은 3차원 모든 방향에 대해 속도성분을 미분하여 전개함을 의미합니다. 또한, 만일 검사체적을 지나는 유체가 비압축성 유체인 액체의 경우 밀도의 변화가 거의 없음으로 밀도 항을 무시할 수 있습니다.
결론
이처럼, 연속방정식이란 다양한 물리적 특성에 대해 적용이 가능하며, 질량보존에 대해 오일러 방정식으로 표현되는 벡터형식을 이해하는 것은 열역학 공정설계의 관점에서 매우 중요하므로 한 번씩 유도해 보시고 정리해 보시길 바랍니다.
공학 전공면접 질문으로도 자주 출제되는 기초 이론 중 하나입니다. 단순히 '오일러 방정식은 연속 방정식입니다.'라는 답변보다는, Ep01에서 학습한 내용과 연결하여 '공정을 설계함에 있어, 열 및 물질 수지(HMB, Heat and Material Balance)를 계산하기 위한 지배방정식(Gorverning eqution)입니다.'라는 답변이 더 높은 점수를 얻을 수 있습니다.
더 나아가, HMB가 무엇인가요? 란 질문에 다음과 같은 수식을 풀어 설명할 수 있고, 그 수식의 유도과정에서 나타나는 테일러급수를 공학 수학시간의 한 챕터로 이해하는 것이 아니라, 지배방정식을 유도하기 위한 수학적 근거로 발표할 수 있다면, 어떤 지원자들과 경쟁한다 하더라도 돋보이는 매력으로 합격의 확률을 더 높일 수 있을 것입니다.
어렵지 않은 이론이니, 한 번씩 노트에 써보면서 내용을 이해해 보시길 바랍니다.
첨부 1 테일러급수 예제
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